Ay Charly!!!: 2010

Diferenciales

Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene una variable desconocida y a sus derivadas.

Ejemplo:

Las siguientes son ecuaciones diferenciales que contienen una variable desconocida y sus derivadas.

USO DE LA DIFERENCIAL

Las diferenciales desempeñan distintas aplicaciones, pero su uso principal consiste en producir aproximaciones

PROPIEDADES DE LA DIFERENCIAL

Primera propiedad:

La diferencial de una función en un punto depende de dos variables: el punto x elegido y el incremento h que se ha tomado.

Segunda propiedad:

Tercera propiedad:

Cuarta propiedad:

CLASIFICACIÓN

Una ecuación diferencial es una ecuación diferencial ordinaria si la variable desconocida depende solamente de una variable independiente.
Si la variable desconocida depende de dos o más variables independientes, la ecuación diferencial se conoce como ecuación diferencial parcial.

Las ecuaciones 1.1-1.4 son ecuaciones diferenciales ordinarias.

Por otro lado la 1.5 es una ecuación diferencial parcial.

Para identificar una ecuación parcial el mismo símbolo nos ayuda ∂ “La Parcial”.
La diferencia entre una ecuación ordinaria y una parcial radica en que en la parcial la variable desconocida depende de varias variables independientes y en la ordinaria la ecuación desconocida depende de solo una variable independiente.

ORDEN Y GRADO

El orden de una ecuación diferencial es el orden de la mayor derivada que aparece en la ecuación.
Símbolos de la 1ª, 2ª, 3ª, 4ª……..”n” esima Derivada

Orden: primera, segunda, tercera, cuarta, etc., derivada.

GRADO DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

Es la potencia a la cual esta elevada la derivada de mayor orden.

El grado de una ecuación diferencial puede escribirse como un polinomio en la variable desconocida y sus derivadas.
Ecuaciones diferenciales lineales
Una ecuación diferencial de orden n en la función desconocida y la variable independiente x, es lineal si tiene la forma:

Donde la literal b₀corresponde al coeficiente de la primera derivada, b₂ es el coeficiente de la segunda derivada, b┬( n-1)es el coeficiente de la antepenúltima derivada y b┬n es el coeficiente de la última derivada.
g(x) es una función cualquiera
Y = variable desconocida
X = variable independiente
De esta manera las letras b(x) forman una ecuación que se suponen conocidas y dependerán solamente de la variable x.
También se aprecia que esta ecuación diferencial se ha escrito como polinomio.

Nota: Las ecuaciones diferenciales que no puedan escribirse de esta forma son NO LINEALES.

Identificación de las propiedades generales de las ecuaciones diferenciales de acuerdo a lo mencionado.

Ecuación Diferencial Ordinaria de 1er orden.

Ecuación Diferencial Ordinaria de 2do orden.
Nota: No tiene grado porque hay una constante exponencial e^y

Ecuación Diferencial Ordinaria de 1º, 3er orden.

Ecuación Diferencial Parcial de 1º, 2do orden

Logaritmos

El logaritmo de un número es el exponente al que hay que elevar otro número llamado base para obtener el número dado. Es la función matemática inversa de la función exponencial.

Base: Cualquier número positivo que se puede tomar como base de un sistema de logaritmos.

Por ejemplo:

1.-El logaritmo con base b de un número x es el exponente n al que hay que elevar esa misma base para que nos dé dicho número x.

La base b tiene que ser positiva y distinta de 1 .

2.-

Siendo la base 2, el logaritmo de 1 es 0, porque 0 es el exponente a que hay que elevar la base 2 para que dé 1; el log 2 es 1; el log 4 es 2; el log 8 es 3, etc.

PROPIEDADES GENERALES

1.- La base de un sistema de logaritmos no puede ser negativa

2.- Los números negativos no tiene logaritmo.

3.- En todo sistema de logaritmos, el logaritmo de la base es 1, porque siendo b la base, tenemos:
b^1 = b ... log b = 1

4.- En todo sistema el logaritmo de 1 es 0, porque siendo b la base, tenemos:
b° = 1 ... log 1 = 0

5.- Los números mayores que 1 tienen logaritmo positivo.

6.- Los números menores que 1 tienen logaritmo negativo.

7.- La función ln (x) definida anteriormente es estrictamente creciente pues su derivada es estrictamente positiva

8.- Tiene límites infinitos en 0 (+) y en + infinito

9.- La tangente Te que pasa por el punto de abscisa e de la curva, pasa también por el origen.

10.- La tangente T1 que pasa por el punto de abscisa 1 de la curva, tiene como ecuación:

y = x − 1.

11.- La derivada de segundo orden es , siempre negativa., por lo tanto la función es cóncava, hacia abajo, como la forma que tiene la letra "n", es decir que todas las tangentes pasan por encima de la curva. Es lo que se constata con T1 y Te.

12.- Logaritmación es una de las tres igualdades como son potenciación, radicación y logaritmación. ej. 3x3x3= 27 log3 de 27=3

Integracion

INTEGRACIÓN

El significado de una integral en palabras meramente matemáticas, sería el siguiente:

Sea y = f(x) una función. Sea y' = g(x) la derivada de y = f(x). Si calculamos la integral de la función g(x), obtendremos como resultado f(x).

Sin embargo, este enunciado que describe la integral nos resulta un tanto difícil, inclusive confuso e incomprensible a simple vista. Para poder entender mejor el proceso de integración analicemos el siguiente esquema:

Las integrales se clasifican definidas e indefinidas, las primeras hacen referencia a integrales que tienen límites establecidos, mientras que las otras son integrales que no tiene fin.

El proceso de hallar la primitiva de una función se conoce como Integración indefinida.
Integral indefinida

A manera sencilla y objetiva podemos asegurar que la integral indefinida es aquella sumatoria de partes o segmentos de un área bajo la curva de forma infinita.
Forma de resolución
Es posible realizar esta suma infinita mediante el método de exhausión, es decir tratar de encontrar figuras regulares, obtener su área y agregarlos a una suma final. Sin embargo este proceso es muy laborioso e inexacto y para suplir esta deficiencia se ha convenido a través de los tiempos el empleo de formulas universales de integración conocidas como “Formulas Básicas para Integrar”.

Para poder conocer estas formulas de integración, a continuación se presentan, mediante la siguiente clasificación:

Derivadas

DERIVADAS

El concepto de DERIVADA fue originado por dos problemas aparentemente relacionados: el trazo de una recta tangente a una curva con pendiente cualquiera y el cálculo del área de una región dada cualquiera.

La derivada de una función es la m (pendiente) de la tangente a una curva que cubre cierta área.

En palabras sencillas podemos definir a la derivada como un proceso que consiste en desmenuzar o ir quitando partes de un todo para poder llegar a obtener un algo, como un resultado por decir.

Regla General de la Derivación

Ejemplo: Hallar la derivada dela función y= 2x-3

El procedimiento anterior corresponde a la derivación mediante la “Regla de los 4 pasos”, tal procedimiento aunque es fundamental resulta ser simultáneamente muy laborioso y hasta tedioso cuando se aplica para resolver derivadas mucho más complejas que la anterior.
Por tales motivos nos resulta fácil utilizar formulas que simplifiquen la derivación, las cuales llevan por nombre “Formulas Fundamentales de Derivación”.

A CONTINUACIÓN SE PRESENTAN LAS MENCIONADAS FORMULAS:

Fórmulas de derivadas inmediatas