Diferenciales

Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene una variable desconocida y a sus derivadas.

Ejemplo:

Las siguientes son ecuaciones diferenciales que contienen una variable desconocida y sus derivadas.

USO DE LA DIFERENCIAL

Las diferenciales desempeñan distintas aplicaciones, pero su uso principal consiste en producir aproximaciones

PROPIEDADES DE LA DIFERENCIAL

Primera propiedad:


La diferencial de una función en un punto depende de dos variables: el punto x elegido y el incremento h que se ha tomado.


Segunda propiedad:

Tercera propiedad:

Cuarta propiedad:

CLASIFICACIÓN

Una ecuación diferencial es una ecuación diferencial ordinaria si la variable desconocida depende solamente de una variable independiente.
Si la variable desconocida depende de dos o más variables independientes, la ecuación diferencial se conoce como ecuación diferencial parcial.

Las ecuaciones 1.1-1.4 son ecuaciones diferenciales ordinarias.

Por otro lado la 1.5 es una ecuación diferencial parcial.



Para identificar una ecuación parcial el mismo símbolo nos ayuda ∂ “La Parcial”.
La diferencia entre una ecuación ordinaria y una parcial radica en que en la parcial la variable desconocida depende de varias variables independientes y en la ordinaria la ecuación desconocida depende de solo una variable independiente.

ORDEN Y GRADO

El orden de una ecuación diferencial es el orden de la mayor derivada que aparece en la ecuación.
Símbolos de la 1ª, 2ª, 3ª, 4ª……..”n” esima Derivada

Orden: primera, segunda, tercera, cuarta, etc., derivada.

GRADO DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

Es la potencia a la cual esta elevada la derivada de mayor orden.

El grado de una ecuación diferencial puede escribirse como un polinomio en la variable desconocida y sus derivadas.
Ecuaciones diferenciales lineales
Una ecuación diferencial de orden n en la función desconocida y la variable independiente x, es lineal si tiene la forma:

Donde la literal b₀corresponde al coeficiente de la primera derivada, b₂ es el coeficiente de la segunda derivada, b┬( n-1)es el coeficiente de la antepenúltima derivada y b┬n es el coeficiente de la última derivada.
g(x) es una función cualquiera
Y = variable desconocida
X = variable independiente
De esta manera las letras b(x) forman una ecuación que se suponen conocidas y dependerán solamente de la variable x.
También se aprecia que esta ecuación diferencial se ha escrito como polinomio.

Nota: Las ecuaciones diferenciales que no puedan escribirse de esta forma son NO LINEALES.

Identificación de las propiedades generales de las ecuaciones diferenciales de acuerdo a lo mencionado.

Ecuación Diferencial Ordinaria de 1er orden.

Ecuación Diferencial Ordinaria de 2do orden.
Nota: No tiene grado porque hay una constante exponencial e^y

Ecuación Diferencial Ordinaria de 1º, 3er orden.

Ecuación Diferencial Ordinaria de 1º, 3er orden.

Ecuación Diferencial Parcial de 1º, 2do orden